\documentclass{article}


\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[russian]{babel}
%\usepackage{index}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage{indentfirst}
\usepackage{tikz}
\usetikzlibrary{patterns}
\usepackage{mathtext}
\usepackage[sumlimits, intlimits, namelimits]{amsmath}
\usepackage{amsfonts, amssymb, pifont, flexisym, breqn}
\usepackage{mymathutils, mathbreaks, bracemath}
\usepackage[framedtheorems]{mymath}
\usepackage{float}
\usepackage{color}
\usepackage{enumitem}
\usepackage{textcomp}
\usepackage{ifthen}
\usepackage{fullpage}

\definecolor{darkgreen}{HTML}{008000}

\renewcommand{\theoremkwstyle}{\fontfamily{fco}\selectfont\bfseries\color{blue}}
\renewcommand{\theoremtextstyle}{\normalfont\sffamily\color{blue}}
\renewcommand{\definitionkwstyle}{\fontfamily{fco}\selectfont\bfseries\color{darkgreen}}
\renewcommand{\definitiontextstyle}{\fontfamily{fos}\selectfont\color{darkgreen}}

\title{Поиск экстремумов двумерных функций}

\begin{document}
  \maketitle
  Рассмотрим такую задачу: имеется функция \(f : \realnum^2 \to \realnum\).
  Требуется найти её экстремумы.
  
  Для этого нам потребуется достаточное условие экстремума. К сожалению, удобное
  первое достаточное условие экстремума не перенести.
  \begin{theorem}[первое достаточное условие экстремума]
    Пусть \(f : [a, b] \to \realnum\), непрерывная. \(x_0 \in (a, b)\).

    Если \[
      \exists \delta > 0 : 
        \left\{\begin{array}{l}
          \forall x \in (x_0 - \delta, x_0) ~ f'(x) \textcolor{red}{\ge} 0 \\
          \forall x \in (x_0, x_0 + \delta) ~ f'(x) \textcolor{darkgreen}{\le} 0
        \end{array}\right.
    \], то \(x_0\) -- локальный максимум. Если поменять соответствующие цветные
    знаки, получим условие на минимум.
  \end{theorem}
  Многомерный случай формулировался бы так: ,,если в некоторой окрестности точки
  все частные производные слева от точки имеют один знак, а справа -- другой, то
  эта точка -- экстремум''.

  Однако это неверно. Контрпример: \(f(x, y) = x^2 - y^2\). Частные производные
  -- \(2x\) и \(2y\). Точка \((0, 0)\) удовлетворяет условию, но не является
  экстремумом.

  Придётся пытаться обобщать второе достаточное условие экстремума.
  \begin{theorem}[второе достаточное условие экстремума]
    Пусть \(f(c, d) \to \realnum\); \(a \in (c, d)\). Пусть \(f'(a) = 0\).
    
    Пусть \(f'(a) = f''(a) = \ldots = f^{[k - 1]} =0\), \(f^{[k]} \neq 0\). 
    
    Также потребуем наличие \(k+1\)-ой произоводной и её непрерывность.
    
    Тогда:
    \begin{itemize}
      \item{Если \(k\) нечётно, экстремума нет}
      \item{Если \(k\) чётно и \(f^{[k]}(a) > 0\), то экстремум есть и это
      локальный минимум}
      \item{Если \(k\) чётно и \(f^{[k]}(a) < 0\), то экстремум есть и это
      локальный максимум}
    \end{itemize}
  \end{theorem}
  Нам потребуется её частный случай -- при \(k = 2\).
  \begin{theorem}[обобщённое второе достаточное условие экстремума]
    Пусть \(f'(x) = f'(y) = 0\), а \(f''_{xx}(A_0) = A\), \(f''_{xy}(A_0) = B\),
    \(f''_{yy}(A_0) = C\). Тогда
    \begin{itemize}
      \item \(AC - B^2 > 0\), то
        \begin{itemize}
          \item \(A > 0 \implies\) \(A_0\) -- локальный максимум
          \item \(A < 0 \implies\) \(A_0\) -- локальный минимум
        \end{itemize}
      \item \(AC - B^2 < 0 \implies\) \(A_0\) -- не экстремум
      \item При \(AC - B^2 = 0\) вопрос остаётся открытым.
    \end{itemize}
  \end{theorem}
  \begin{proof}
    Формула Тейлора до второго слагаемого выглядит следующим образом: \[
      f(x_0 + \Delta x, y_0 + \Delta y) - f(x_0, y_0) = f'_x\Delta x +
        f'_y\Delta y + \frac{1}{2!}\left(f''_{xx}\Delta x^2 +
        2f''_{xy}\Delta x\Delta y + f''_{xy}\Delta y^2 \right) +
          o\left(\left( \sqrt{\Delta x^2 + \Delta y^2} \right)^2 \right)
    \]. Здесь \(f'_x = f'_y = 0\), а к квадратичной форме применяется критерий
    Сильвестра.
  \end{proof}

  
  Исследуем такую задачу: найти \(\min\) и \(\max\) функции \(f : K \to
  \realnum\) на компакте \(K\) с границей \(\gamma\). Граница задана
  параметрически: \[
    \gamma : \big(\varphi(t), \psi(t)\big), t \in [\alpha, \beta]
  \].

  Требуется выполнить следующие шаги.
  \begin{enumerate}
    \item
      Сначала нужно найти стационарные точки на компакте. Нас, в частности,
      интересуют точки внутри компакта.
      \{
        \[
          f'_x = 0
        \], \[
          f'_y = 0
        \].
      \}
      Их будет две. Согласно теореме Вейерштрасса, на компакте у функции есть
      максимум и минимум. Это и есть эти две точки.
    \item
      Исследовать функцию \(g(t)\) -- сужение \(f|_{\gamma}\): \[
        g(t) \equiv f(\varphi(t), \psi(t)) : [\alpha, \beta] \to \realnum^2
      \]. Минимум и максимум функции \(g(t)\) будут соответственно минимумом и
      максимумом функции \(f\) на границе.
  \end{enumerate}
\end{document}
